​1955年高考数学真题，解三角方程，正确率不到10％

1955年高考数学真题，解三角方程，正确率不到10％

对不少高中生来说，三角函数都是一个学习的难点，特别是三角函数的图像与性质还有三角恒等变换。三角函数的图像与性质为什么难学？因为很多学生没有掌握学习方法，他们在学习过程中死记硬背三角函数的性质，但是三角函数的性质非常多，死记硬背很容易出错。正确的学习方法是记图像，通过图像来研究三角函数的性质。

三角恒等变换为什么难学？因为三角函数的运算法则与以前学的整式的计算有很大的区别，而很多同学又记不住常见的公式，比如两角和与差的正余弦公式、辅助角公式等，也没有掌握常见的变换技巧，比如角的代换、切化弦等。本文就和大家分享一道三角方程的高考真题。

本题是1955年全国高考数学真题。当年高考数学试卷全卷只有8道题，满分100分。不过，这8道题都是解答题，没有选择题，也没有解答题。本文分享的这道题是当年那套试卷的第7题，也就是倒数第二题，这道题的正确率还不到10％。下面我们一起来看一下这道题。

先看一下这个方程，左边出现了二倍角的形式，那么可以想到用二倍角公式进行转化，即cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=2(xosx)^2-1=1-2(sinx)^2。那么究竟该选用哪一个公式呢？我们再观察一下方程的右边，右边出现了cosx+sinx的形式，所以左边可以选择cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2，然后用平方差公式进行转化，即(cosx+sinx)(cosx-sinx)=cosx+sinx。

到了这一步问题都不大，但是很多同学在接下来的处理中却犯了错。很多同学看见方程两边都有cosx+sinx，所以就直接约去了，从而导致答案出错。正确的解法是移项、提公因式，或者在约之前先讨论cosx+sinx是否为零。变换后得到cosx+sinx=0或者cosx-sinx-1=0。

当cosx+sinx=0时，可以得到tanx=-1，然后根据正切函数的性质可以求出x=kπ-π/4。另外，这种情况下也可以用辅助公式，即cosx+sinx=√2sin(x+π/4)=0，则x+π/4=kπ，从而解出x的值。

当cosx-sinx-1=0即sinx-cosx=-1时，由辅助角公式可得√2sin(x-π/4)=-1，即sin(x-π/4)=-√2/2，所以x-π/4=2kπ-π/4，或者x-π/4=2kπ-3π/4，解得x=2kπ或x=2kπ-π/2。

对于三角函数学得比较好的同学来说，这道题的难度并不大，但是解题过程中还需要细心，不要出现无谓的丢分。